Une courte explication du "Mystère d'Urbicande"

A la page 19 du livre ci-haut mentionné, une formule mathématique est utilisée en tant qu'argument pour soutenir l'inexistence du Réseau. La formule de Robick, 

U_n = (2n+1) + 4(1(2n-1) + 2(2n-3) + ... + n1)

est, d'après de Brock, mathématiquement incorrecte. Le développement du côté droit peut être remplacé par une somme qui nous donne la plus simple relation de de Brok: 

U_n = (2n+1)(2n²+2n+3)/3

Un commentaire en marge, de la main d'Eugen Robick lui-même, déclare que sa propre formule donne une meilleure représentation du Réseau. Ceci ne peut être interprété que comme une référence à la forme pyramidale - Robick voulait vraiment dire octaèdrale (voir ci-dessous) - du Réseau. Je voudrais, par ces courtes lignes, exprimer quatre points:

1. L'exactitude de l'égalité des formules de Robick et de de Brok.
2. L'erreur dans la représentation de la pyramide à la page 18 de l'ouvrage de de Brok.
3. Le développement de la formule de Robick et sa relation avec la forme pyramidale.
4. La relation simple entre la formule de de Brok et la forme pyramidale, qui prouve que la formule de de Brok est elle aussi une représentation fidèle du phénomène.

(1)  Commençons avec la formule de Robick:

U_n = (2n+1) + 4(1(2n-1) + 2(2n-3) + ... + n1)

La somme entre les parenthèses de la partie de droite est la section qui nous intéresse:

1.(2n-1) + 2.(2n-3)+ ... + n.1

Le nombre de termes dans cette sommation est n, si la sommation est entre 1 et n. Quelle est la forme d'un terme général pour ce développement?  C'est un produit, où le premier facteur est un nombre i situé entre 1 et n, donc 1 <= i <= n et le second facteur est 2n - 2i + 1 . Le terme général est donc:

i.(2n - 2i +1)            (x)

J'utilise pour signifier que nous devons faire la somme de termes comme (x) quand i est entre 1 et n. Nous pouvons alors rendre la formule de Robick un peu plus simple:

U_n = (2n+1) + 4 . i(2n - 2i + 1)

Dans cette dernière formule, nous pouvons transformer  i.(2n - 2i + 1)  en  i.2n - 2i² + i . Maintenant, nous pouvons transformer la formule et obtenir:

i.(2n - 2i + 1) = i.2n - 2i² + i

Le premier terme est  i.2n . Puisque 2n se retrouve dans chaque terme, nous pouvons extraire le symbole de sommation ():  i.2n = 2n. i .

Le troisième terme est i, nous pouvons donc joindre ces deux termes dans (2n+1). i . La valeur de i est un résultat mathématique connu:

i = n(n+1)/2

[ La preuve classique est:

i = 1 + 2 +3 + ... + n -1 + n
i = n + n-1 + n-2 + ... + 2 + 1

(inverser les termes ne change pas la sommation).

La some totale:

2. i = (n+1) + (2+(n-1)+ ... + ((n-1)+2) + (n+1)

Du côté droit on trouve n fois n+1, donc:

2. i = n(n+1) et donc i = n(n+1)/2 ]

Il nous reste le terme 2.i². Encore une fois, nous pouvons remplacer le facteur 2, donc 2 . i² . Nous trouvons à nouveau un résultat connu:

i² = n(n+1)(2n+1)/6

[ il y a plusieurs moyens de prouver que. i² peut être remplacé par i(i+1)-i, pour que i² = i(i+1) - i. Le second terme du côté droit a déjà été calculé, nous devons donc nous concentrer sur i(i+1). Si nous écrivons cette sommation, nous trouverons:

1                 = 1(1+1)/2
1 2              = 2(2+1)/2
1 2 3           = 3(3+1)/2
...
1 2 3 ... n    = n(n+1)/2

Quand nous faisons la somme totale, nous trouvons:

n.1 + (n-2)2 + (n-3)3 + .. + 1.n  = i(i+1)/2

ou  i.(n-i+1) = i(i+1)/2

ou 2. i.n - 2. i² + 2. i = i(i+1)

Si nous remplaçons i(i+1) dans la formule ci-dessus, nous obtenons:

i² - 2. i.n - 2. i² + 2. i - i

ou  3. i² = (2n+1) . i

avec l'aide de la dernière formule, nous trouvons:

3 . i² = (2n+1)n(n+1)/2

qui nous donne la formule: 

i² = n(n+1)(2n+1)/6  ]

Si nous faisons usage de ces résultats, nous pouvons transformer la formule de Robick ainsi:

U_n = (2n+1) + 4 .( (2n+1). i - 2 . i²)
U_n = (2n+1) + 4. ( n(n+1)(2n+1)/2 - 2n(n+1)(2n+1)/6)
U_n = (2n+1)(1 + 2.n(n+1) - 4.n(n+1)/3)
U_n = (2n+1)(3 + 6.n(n+1) - 4.n(n+1)/3)

et enfin la formule de de Brok:

U_n = (2n+1)(2n²+2n+3)/3

(2) La croissance du cube suit un plan très simple, tel que démontré ci-dessous, basé sur les commentaires de de Brok. Si x représente un des cubes du réseau, alors la génération suivante de ce cube sera de 6 nouveaux cubes (fig.1).

fig.1 schéma de croissance

Si vous avez un cube au départ (la situation U₀) alors la prochaine génération de cubes sera de 1 + 6 = 7 = U₁ cubes. Le lecteur peut dessiner lui-même les générations suivantes. Le résultat devrait approcher ce qui suit (fig.2).

fig.2. le réseau

fig.3. la représentation incorrecte de de Brok

Ceci ne correspond pas au dessin de la page 18 du texte de de Brok, tel que reproduit en fig. 3. Le fait que de Brok puisse commettre une telle erreur géométrique, malgré son très réel talent algébrique, tend à supporter la théorie que de Brok et Robick sont deux personnes différentes. Il n'est pas déraisonnable de dire que l'urbatecte Robick a une vision foncièrement géométrique du monde, et l'Archiviste Isidore Louis est dans l'erreur quand il suggère que ces deux personnes peuvent n'en faire qu'une seule (L'Archiviste, pièce no. 16).

(3) Déduction de la formule de Robick et sa relation avec la forme pyramidale

La  forme globale de la pyramide se présente ainsi (fig.4):

Fig.4. forme pyramidale

Sur la ligne AB il y aura, à la n^e génération, U_n 2n+1 cubes. Concentrons-nous sur un quart de la pyramide (les lignes foncée de la figure 4). D'en haut, nous voyons ceci:

Fig.5. vue supérieure

Le cube 'a' est le sommet d'une colonne de cubes qui a deux unités demoins que la colonne centrale (un de mois au sommet et un de moins à la base), le total des cubes dans cette colonne est donc de 1.(2n-1). La colonne 'b' a à nouveau deux cubes de moins, et son total est de 2.(2n-3). Si nous continuons ainsi, nous aboutirons, pour un nombre 'n' de colonnes, à une quantitée  n.1 de cubes. La sommation totale de ce quart de pyramide est:

1.(2n-1)+2.(2n-3)+...+n.1

Le nombre total de cubes (à la n^e génération) sera de:

U_n = colonne centrale + 4 fois chaque quartier, ou

U_n = (2n+1)+ 4.(1.(2n-1)+2.(2n-3)+...+n.1)

ou la formule de Robick.

Cette formule fait ressortir la construction d'une pyramide, un octaèdre plus précisément, en tant qu'une structure composée d'une colonne centrale et de quatre figures simples symétriquement disposées autour de cette colonne. Il faut noter qu'il ne s'agit pas là de la seule façon de décrire une pyramide d'un point de vue strictement géométrique. Il est très surprenant que Robick n'ait pas remarqué que la pyramide-octaèdre est un des cinq - et seulement cinq - solides Euclidiens ou Platoniciens (voir figure 6). Il ne peut être une coïncidence que la pyramide soit exactement au milieu de leur échelle de progession. Ce n'est pas la plus simple structure, mais pas non plus la plus complexe.

Fig. 6. les cinq solides platoniciens

(4) L'interprétation géométrique de la formule de de Brok.

Considérons l'octaèdre (figure 7). Un calcul élémentaire montre que si la hauteur CD équivaut à H, alors le côté Z = AB équivaut à 2. H/2.

Fig.7. l'octaèdre

Revenons à la formule de de Brok. Cette formule nous donne le nombre de cubes. Si nous voulons connaître la quantité de cubes dans cette pyramide, alors nous nous devons multiplier ce nombre par le contenu d'un cube, ³, où est la longueur d'un côté du cube. Le contenu de la pyramide est donc:

I = (2n+1)(2n²+2n+3)³/3              (xx)

La hauteur de la pyramide est de 2n+1 cubes. Si H équivaut à (2n+1)., en d'autres termes si H est la hauteur mesurée en tant que distance: H = (2n+1)..

La formule (xx) peut être recomposée ainsi:

I = ((2n+1)..((2(n+1/2))² + 5.²/2)/3

Dans cette formule nous pouvons changer (2n+1). pour H et (n+1/2). pour H/2 et 2.H/2 par Z:

I = H.(Z²+5.²/2)/3

Quand nous estimons un très grand nombre de cubes pour une hauteur donnée H (nous obtenons ainsi une double pyramide  "classique"), alors devient très petit, et dans la formule ci-dessous on peut négliger la partie 5.²/2 et conserver le segment central pour un contenu:

I = H.Z²/3

Ce qui est exactement la formule pour le contenu d'un octaèdre!

Ce qui signifie que la formule de de Brok est la représentation ponctuelle du contenu d'un octaèdre, où le facteur (2n+1) représente la hauteur et (2n²+2n+3) mesure la surface du carré sur lequel l'octaèdre est basé. On peut donc difficilement nier que la formule de de Brok, comme celle de Robick, décrit essentiellement le Réseau.

Un dernier petit commentaire: un argument supplémentaire pour la vision geométrique plutôt qu'algébrique d'Eugen Robick se trouve dans ses anotations. Il écrit "ma formule, en son expansion infinie,..." (page 19). la formule de Robick contient un développement, mais pour chaque génération U_n sera finie.